cara penyelesaian soal aritmatika modulo?

1. cara penyelesaian soal aritmatika modulo?

Konsep 1: Operasi modulo dalam matematika
Jika a adalah bilangan bulat dan b adalah bilangan asli (bulat positif), maka a mod b adalah sebuah bilangan bulat c dimana 0 ≤ c ≤ b-1, sehingga a-c adalah kelipatan b. Contohnya, 7 mod 3 = 1, karena 7-1 adalah kelipatan 3. Perhatikan bahwa 7 mod 3 != 4, karena 4 >= 3, dan 7 mod 3 != 2, karena 7-2 bukan kelipatan 3. Bisa dibayangkan bahwa a mod b itu sisa pembagian dari a dibagi b. Tapi hati-hati untuk nilai a negatif: -7 mod 3 = 2.
Teorema 1: Kumpulan sifat distributif mengenai modulo
Jika a, b adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli, maka:
1. (a+b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n
2. (ab) mod n = ((a mod n) * (b mod n)) mod n
3. (a^b) mod n = ((a mod n)^b) mod n, untuk b bilangan bulat nonnegatif

Latihan 1
1. Tentukan nilai dari 9876543210 mod 12.
2. Tentukan nilai dari (97531*8642 - 13579*2468) mod 20.
3. Tentukan angka terakhir dari 1 + 2 + 3 + ... + 2013. (Asumsi: Umumnya, "angka terakhir" itu dalam basis 10. Kalau diperbolehkan bertanya tentang soal, coba tanyakan; kalau tidak, bekerja dengan basis 10. Dalam soal ini, angka terakhir adalah dalam basis 10. Hint: "Angka terakhir dalam basis 10" berarti "mod 10". 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2.)
Konsep 2: Aritmatika modulo
a = b (mod c) berarti a mod c = b mod c.
Konsep 3: Invers modulo
Jika a adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli, dan a, n saling relatif prima, maka terdapat sebuah nilai b sehingga ab = 1 mod n. Nilai b disebut invers dari a modulo n.

2. Contoh soal cerita modulo dong?

Jawaban:

Tentukan semua bilangan bulat x sedemikian sehingga x ≡ 1 (mod 10) !!

jawaban:

x ≡ 1 (mod 10) jika dan hanya jika x - 1 = 10 k untuk setiap k bilangan bulat. Jika k = 0, 1, 2, 3,.... maka berturut-turut x = 1, 11, 21, 31,....

Begitu pula k = -1, -2, -3, .... maka berturut-turut x = -9, -19, -29, ...

Dua barisan tersebut digabungkan sehingga himpunan penyelesaian x ≡ 1 (mod 10) adalah {..., -29, -19, -9, 1, 11, 21, 31, ....}.

Jawaban:

coba kamu tekan ok

MAAF KALO SALAH

3. apa itu operasi modulo ? dan apa rumus dari operasi modulo serta contoh ?

Dalam matematika dan dalam pemrograman komputer modulus, operasi modulus adalah sebuah operasi yang menghasilkan sisa pembagian dari suatu bilangan terhadap bilangan lainnya. Dalam bahasa pemrograman operasi ini umumnya dilambangkan dengan simbol %, mod atau modulo, tergantung bahasa pemrograman yang digunakan.

4. Quiz Math - Kongruensi Modulo (Keterbagian)​

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Terlampir

5. buatlah 20 contoh fungsi modulo : 10negatif dan 10 positif dan berikan sebabnya seperti gambar dibawah ini

Jawaban:

banyak banget masak 10

6. Quiz Math - Kongruensi Modulo​

Diketahui:

F₁ = F₂ = 1

Fₙ₊₂ = Fₙ₊₁ + Fₙ , n≥1

Ditanya:

F₂₀₂₀ ≡ ? mod 5

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Jai, deretan fibonanci merupakan dertan yang suku deretan pertambahan dari beberapa dari suku deretan belakang (untuk soal ini pertambahan suku di belakangnya), yaitu:

1; 1; 2; 3; 5; 8; ...

untuk mengetahui persamaan suku Fibonacci ke-n kita dapat menggunakan pemisalan, yaitu:

Fₙ = rⁿ

Dapat kita subtitusi e persamaan berikut:

Fₙ₊₂ = Fₙ₊₁ + Fₙ

rⁿ⁺² = rⁿ⁺¹ + rⁿ

rⁿ(r²) = rⁿ(r + 1)

r² = r + 1

r²- r -1 = 0

r₁₂ = [-b±√(b² - 4ac)]/2a

r₁₂ = [-(-1)±√((-1)² - 4(1)(-1))]/2(1)

r₁₂ = [1 ±√(1 + 4)]/2

r₁ = [1 + √(5)]/2

r₂ = [1 -√(5)]/2

Fₙ = ar₁ⁿ + br₂ⁿ

F₁ = a([1 + √(5)]/2) + b([1 - √(5)]/2)

F₂ = a([1 + √(5)]/2)² + b([1 - √(5)]/2)²

F₁ = F₂

a([1 + √(5)]/2) + b([1 - √(5)]/2) = a([1 + √(5)]/2)² + b([1 - √(5)]/2)²

b ([1 - √(5)]/2) + b([1 - √(5)]/2)² = a([1 + √(5)]/2)² + a([1 + √(5)]/2)

b{ ( [1 - √(5)] / 2)( 1 - [1 - (√(5)] / 2 ) )} = a{([1 + √(5)] / 2)( ([1 + (√(5)] / 2 ) - 1 )

b{ ( [1 - √(5)] / 2) [2 - 1 + √(5)] / 2))} = a{ ( [1 + √(5)] / 2)(b{ ( [1 +√(5) - 2] / 2))}

b{ ( [1 - √(5)] / 2) [1 + √(5)] / 2))} = a{ ( [1 + √(5)] / 2)( ( [√(5) - 1] / 2))}

b{ [1 + √(5)] / 2))} = a{ ( [√(5) - 1] / 2)}

b =a{ - ( [1-√(5) ] / 2)} /{ [1 + √(5)] / 2))}

b =a{-1}

b = -a

Fₙ = ar₁ⁿ + br₂ⁿ

F₁ = a([1 + √(5)]/2) - a([1 - √(5)]/2)

1 = a{([1 + √(5)]/2) - ([1 - √(5)]/2)}

1 = a {([1 + √(5) - (1 - √(5)]/2)}

2 =  a [1 + √(5) - 1 + √(5)]

2 =a{2√(5)}

a = 1/√(5)

b = -a

b = - 1/√(5)

Fₙ = ar₁ⁿ + br₂ⁿ

Fₙ = {1/√(5)}([1 + √(5)]/2)ⁿ - {1/√(5)}([1 - √(5)]/2)ⁿ

Fₙ = {1/√(5)}{[1 + √(5)]/2)ⁿ - ([1 - √(5)]/2)ⁿ}

Fₙ = {1/√(5)} {[(1 + √(5))ⁿ - (1 - √(5))ⁿ]/ 2ⁿ

Kita uji persamaan dengan F₂, F₃, dan F₄.

F₂ = {1/√(5)} {[(1 + √(5)]² - [1 - √(5)]²)/ 2²}

F₂ = {1/√(5)} {[(1² + 2(1)(√(5)) + 5] - [(1² - 2(1)(√(5)) + 5]}/ 2²

F₂ = {1/√(5)} {[(1 + 2(√(5)) + 5 - 1 + 2(1)(√(5)) - 5]}/ 4

F₂ = {1/√(5)} {[( 4(√(5))]}/ 4

F₂ = {1/√(5)} ( (√(5))

F₂ = 1

F₃ =  {1/√(5)} {[(1 + √(5))³ - ( 1 - √(5))³]/ 2³}

F₃ =  {[(1 +3√(5) +3(5) + √(5)³] - [(1 - 3√(5) +3(5) - √(5)³])/ 8√(5)}

F₃ =  {[(1 +3√(5) +3(5) + √(5)³ - 1 + 3√(5) - 3(5) + √(5)³])/ 8√(5)}

F₃ =  {[( 6√(5) + 2√(5)³])/ 8√(5)}

F₃ =  {[( 6 + 2(5)])/ 8}

F₃ =  {[(16])/ 8} = 2

F₄ = {1/√(5)} {[(1 + √(5))⁴ -  (1 - √(5))⁴]/ 2⁴}

F₄ = {[(1 + 4√(5) + 6(5) + 4√(5)³ +√(5)⁴) -  (1 - 4√(5) + 6(5) - 4√(5)³ +√(5)⁴] / 16√(5)}

F₄ = {[( 8√(5) + 8√(5)³] / 16√(5)}

F₄ = {[( 8 + 8(5)] / 16}

F₄ = {[( 48 )] / 16} = 3

dari ketiga penguji, dapat disimpulkan persamaan berikut ini:

Fₙ = {1/√(5)} {[(1 + √(5))ⁿ - (1 - √(5))ⁿ]/ 2ⁿ}

adalah benar.

Namun, yang kita hadapi adalah F₂₀₂₀

dengan n sebanyak 2020 kita akan memakan waktu banyak hanya untuk mencari sisa bagi.

Coba kita lihat kembali pada perhitungan berikut:

F₂ = {1/√(5)} {[(1 + 2(√(5)) + 5 - 1 + 2(1)(√(5)) - 5]}/ 4                                    F₂ = {1/√(5)} {[( 4(√(5))]}/ 4F₃ =  {[(1 +3√(5) +3√(5)² + √(5)³ - 1 + 3√(5) - 3√(5)² + √(5)³])/ 8√(5)}               F₃ =  {[( 6√(5) + 2√(5)³])/ 8√(5)}F₄ = {[(1 + 4√(5) + 6(5) + 4√(5)³ +√(5)⁴) -  (1 - 4√(5) + 6(5) - 4√(5)³ +√(5)⁴] / 16√(5)}                                                                                                           F₄ = {[( 8√(5) + 8√(5)³] / 16√(5)}

Dilihat dari ketiga perhitungan pada "(1 + √(5))ⁿ - (1 - √(5))ⁿ", √(5) dengan pangkat genap dan angka 1 akan habis dikurang dengan sesamanya.

Pada √(5) pangkat ganjil akan dibagi oleh √(5) dan menghasilkan pangkat genap. Pangkat genap akan menghilangkan akar dan menjadi pangkat setengahnya ke pada masing-masing suku.

(5)ˣ, dimana x>0, x∈R, akan menjadi kelipatan "5" yang berarti akan habis dibagi 5.

Namun, tidak dengan 5⁰ = 1. 1 tidak habis dibagi oleh 5 dan akan bersisa 1.

1 = 1 mod 5

pada F₂, F₃, dan F₄, angka 5⁰ dikalikan dengan 2 kali sudut deretnya.

n= 2

F₂ = {1/√(5)} {[( 4(√(5))]}/ 4

4(√(5)) = 2×2×√(5)

n=3

F₃ =  {[( 6√(5) + 2√(5)³])/ 8√(5)}

6√(5) = 2×3×√(5)

n=4

F₄ = {[( 8√(5) + 8√(5)³] / 16√(5)}

8√(5) = (2×4)×√(5)

jadi pada √(5) disimpulkan akan dikalikan 2 kali suku deretnya sendiri (2n√(5)).

Mari kita coba masukan rumus pada soal yang ditanya (F₂₀₂₀).

Fₙ = {1/√(5)} {[(1 + √(5))ⁿ - (1 - √(5))ⁿ]/ 2ⁿ}

F₂₀₂₀ = {1/√(5)} {[(1 + √(5))²⁰²⁰ - (1 - √(5))²⁰²⁰]/ 2²⁰²⁰}

F₂₀₂₀ =  {[(1 + √(5))²⁰²⁰ - (1 - √(5))²⁰²⁰]/ 2²⁰²⁰√(5)}

pada bagian ini kita gunakan kesimpulan tadi

F₂₀₂₀ =  {[( 2(2020)√(5))+...]/ 2²⁰²⁰√(5)}

lalu √(5) akan membagi prmbilang.

F₂₀₂₀ =  {[( 2(2020)) + "suku lain dengan kelipatan 5"]/ 2²⁰²⁰}

F₂₀₂₀ =  ( 2(2020))/ 2²⁰²⁰ + {5X}/ 2²⁰²⁰

{5X}/ 2²⁰²⁰ akan habis dibagi 5

jadi kita fokus apakah ( 2(2020))/ 2²⁰²⁰) akan bersisa jika dibagi 3

2020 sendiri merupakan kelipatan 5

jadi bisa dikatakan

( 2(2020))/ 2²⁰²⁰ akan habis dibagi 5 menjadi =( 2(404))/ 2²⁰²⁰

jadi,

F₂₀₂₀ = 0 mod 5

7. 1. hitung hasil pembagian modulo berikut :a. -173 modulo 21b. 340 modulo 9​

Semoga membantu, mohon maaf jika salah...

8. akar primitif dari modulo 17

akar primitif dari modulo 17 adalah 3

9. 3 pangkat 100 modulo 5 adalah

3^100
3^1=3
3^2=9
3^3=7
3^4=1
3^5=3
100÷4=25
3^100=1
13^1=3
3^2=4
3^3=2
3^4=1
3^5=3
3^100=3^(4*25)=1

10. apa yang disebut modulo​

Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

modulus adalah sebuah operasi yang menghasilkan sisa pembagian dari suatu bilangan terhadap bilangan lainnya

Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

modulos adalah sebuah operasi yang menghasilkan sisa pembagian dari suatu bilangan terhadap bilangan lainnya

11. Quiz Math - Kongruensi Modulo​

Penjelasan dengan langkah-langkah:

12. hitunglah hasi pembagian modulo -9821 mod 45

1.200 maaf kalo salah yaaaaa

13. apa arti dari modulo? plies di jawab ya kakak

Modulo itu operasi bilangan yang menghasilkan sisa pembagian dari suatu bilangan terhadap bilangan lainnya.

14. jelaskan operasi Modulo​

Jawaban:

modulus kan maksudnya?

operasi modulus adalah sebuah operasi yang menghasilkan sisa pembagian dari suatu bilangan terhadap bilangan lainnya. Dalam bahasa pemrograman operasi ini umumnya dilambangkan dengan simbol %, mod atau modulo, tergantung bahasa pemrograman yang digunakan.

Penjelasan:

semoga bermanfaat ya, selamat belajar

15. Tentukan invers dari 6 modulo 11

berikut terlampir jawaban

semoga bisa membantu

16. tentukan invers dari -39 modulo 14​

Jawaban:

jadi unversitas dari -39 modulo adalah 13

17. Bagaimana cara menyelesaikan soal 7^103 modulo 10 please Trims

Materi : Kongruensi Bilangan

Untuk menyelesaikan ini, km harus tau dulu pengertian / maksud dari modulo itu sendiri, modulo itu sendiri berhubungan dengan hasil bagi dan sisa pembagi suatu bilangan, misal :

p≈a mod b dibaca a modulo b artinya selisih hasil bagi p dengan sisanya a akan habis dibagi oleh b.

contoh :

7 ≈ 2 mod 5 karena 7 - 2 habis dibagi 5.

Sekarang, kita akan menggunakan ini untuk memecahkan soal yang kamu tanyakan.

Berapa hasil dari [tex]{7}^{103}\mod{10}[/tex] ?

Pertama, kita harus cari tahu dulu polanya.

7 ≈ 7 mod 10

7² ≈ 9 mod 10

7³ ≈ 3 mod 10

7⁴ ≈ 1 mod 10

Karena sisanya bernilai 1 saat 7 berpangkat 4, maka kita bagi 103 dengan 4, sehingga :

103 = 4(25) + 3, maka :

[tex]{7}^{103}\mod{10}≈{7}^{4(25)+3}\mod{10}\\{7}^{103}\mod{10}≈{({7}^{4})}^{25}.{7}^{3}\mod{10}\\{7}^{103}\mod{10}≈{(1)}^{25}.3\mod{10}\\{7}^{103}\mod{10}≈3\mod{10}[/tex]

Jadi, hasil modulo itu adalah 3 mod 10.

Semoga membantu.

Note : "≈" pengganti notasi kekongruenan.

18. 2 angka terakhir dari modulo 3^1234​

Jawab:

2 digit terakhirnya adalah 49

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Cari pola untuk satuannya dulu

3[tex]^0[/tex] = 1

3[tex]^1[/tex] = 3

3[tex]^2[/tex] = 9

3[tex]^3[/tex] = 27

3[tex]^4[/tex] = 81

3[tex]^5[/tex] = 243

3[tex]^6[/tex] = 729

3[tex]^7[/tex] = 2187

Pola satuannya berulang setiap 4 pola.

Pola ke- 1 = 1

Pola ke- 2 = 3

Pola ke- 3 = 9

Pola ke- 4 = 7.

3[tex]^1234[/tex] = ?

Pangkat + 1 dahulu krn dimulai dr 3 pangkat 0 lalu ÷ 4 (jml pola) cari sisanya

(1234 + 1) ÷ 4 = 1235 ÷ 4 = 308 sisa 3. Maka satuannya 9

Sekarang cari pola puluhannya. Karena satuan 9 setiap 4 dari pola ke-3 maka

[tex]3^2 = 9\\3^6 = 729\\3^{10} = 59.049[/tex]

[tex]3^{14} =....69\\3^{18} = ....89\\3^{22} = ....09\\3^{26} = ....29[/tex]

Pola ke -1 = 09

Pola ke- 2 = 29

Pola ke- 3= 49

Pola ke- 4 = 69

Pola ke- 5 = 89

Hasil bagi diatas adalah 308 maka

308 : 5 = 61 sisa 3 maka digitnya pola ke-3 yaitu 69

Pelajari lebih lanjut pada tugas

https://brainly.co.id/tugas/11187148

https://brainly.co.id/tugas/11395404

Kategorisasi

Kelas : IX

Mapel : Matematika

Materi : Barisan dan Deret Bilangan

Kata Kunci : satuan pola bilangan eksponen

Kode Kategorisasi : 9.2.2.

19. modulo dari -28mod 9 =

Jawaban:

-28 mod 9 hasilnya 8.......

20. Hitung hasil pembagian modulo -9821 mod 45

Materi: modulo
-9821=((-218).45-11) mod 45=((-219).45+34) mod 45 jadi hasil pembagian modulo nya adalah -219

21. Buat soal dan jawaban dari 1 DIGIT TERAKHIR (2 PANGKAT 10 ) modulo

1). Tentukan 1 digit terakhir dari 2¹⁰

• Jawab :

Kalau mau cari 1 digit terakhir kita pakai modulo 10

2 ≡ 2 modulo 10

2⁵ ≡ 2⁵ modulo 10

2⁵ ≡ 32 modulo 10

(Karena akan dicari 1 digit terakhir, maka ambil cuma 1 angka terakhir dari 32, yaitu 2)

2⁵ ≡ 2 modulo 10

(2⁵)² ≡ (2)² modulo 10

2¹⁰ ≡ 4 modulo 10

Jadi, 1 digit terakhir dari 2¹⁰ adalah 4

2). Tentukan 1 digit terakhir dari 20¹⁰

• Jawab :

20 ≡ 20 modulo 10

20 ≡ 0 modulo 10

20¹⁰ ≡ 0¹⁰ modulo 10

20¹⁰ ≡ 0 modulo 10

Jadi, 1 digit terakhir dari 20¹⁰ adalah 0

3). Tentukan 2 digit terakhir dari 5¹⁰

• jawab :

5 ≡ 5 modulo 100

5² ≡ 5² modulo 100

5² ≡ 25 modulo 100

(5²)² ≡ (25)² modulo 100

5⁴ ≡ 625 modulo 100

5⁴ ≡ 25 modulo 100

(5⁴)² ≡ (25)² modulo 100

5⁸ ≡ 625 modulo 100

5⁸ ≡ 25 modulo 100

5⁸ × 5² ≡ (25 × 5²) modulo 100

5¹⁰ ≡ 625 modulo 100

5¹⁰ ≡ 25 modulo 100

Jadi, 2 digit terakhir dari 5¹⁰ adalah 25.

22. dengan menggunakan modulo 10,tentukan digit terakhir dari 3^125

[tex]\displaystyle 3^{125}\mod10\equiv(3\mod10)^{125\mod\varphi(10)}\mod10\\3^{125}\mod10\equiv(3)^{125\mod4}\mod10\\3^{125}\mod10\equiv(3)^{1}\mod10\\3^{125}\mod10\equiv3\mod10\\\\\text{maka digit terakhir dari }3^{125}\text{ adalah }\boxed{\boxed{3}}[/tex]

23. Jelaskan apa itu modulo dalam aplikasi matematika, berserta contoh soal dan pembahasannya. No copas or spam!

Teori yang mendasar dalam memahami algoritma kriptografi. CONTOH SOAL :
54 mod 5 = 10 dan sisa 4, maka 54 mod 5 = 4
Misalkan yang ditanyakan adalah bilangan bulat dan hasilnya adalah bilangan bulat > 0. Maka, Operasi  mod  memberikan sisa jika  dibagi .

materi kongruensi, yakni modulo (mod), operasi untuk mencari sisa pembagian.
contoh : 25 / 4, sisanya berapa.. ? (jelas, dimanualin sisa = 1)
notasi :
25 mod4
= 1 mod4
nah kadang2 kita di kesulitan kalo pembagian bilangan yg besar (blom dibagi aja sdh sulit), contoh 2^1000 dibagi 7
syarat : (sdh tau sifat2 exponent, dan kalo bisa sdh faham materi binomial newton)
let's answer it ...
2^1000 mod7
= (2)^(3x333 + 1) mod7
= (2) * (2^3)333  mod7
= 2 * (8)^333 mod7
= 2 * (7+1)^333 mod7

perhatikan yg didalem kurung, kalo diexpanding (uraikan) diperoleh :
(7^333 + 7^332 + 7^331 + .... + 7 + 1)
karena menggunakan mod7, tentu kalo dibagi 7, yg habis adalah pada operasi (7^333 + 7^332 + 7^ .... + 7) kecuali 1, jadi operasi modulo di atas dpt ditulis menjadi :

= 2 * (7+1)^333 mod7
= 2 * 1 mod7
= 2 mod7

jadi, sisanya 2

so far so good ??????

sekedar latihan :
1. cari digit terakhir dari 47^(5000)
(hint : gunakan mod 10)
2. tentukan 2 digit terkhir dari 23^2014
(hint gunakan mod100)

24. Quiz Math - Kongruensi Modulo​

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Terlampir

25. Diberikan dua bilangan bulat, tentukan apakah kedua bilangan tersebut kongruen modulo 6 atau modulo 7? Jika Iya, kemukakan alasannya! Jika tidak, sertakan pula alasannya!a. 24 dan 44b. 41 dan 73c. 44 dan 59d. 32 dan 52e. 72 dan 149​soal esai

Jawaban:

a. 24 tidak kongruen dengan 44 modulo 6, karena 24 - 44 tidak habis di bagi 6

24 tidak kongruen dengan 44 modulo 7, karena 24 - 44 tidak habis di bagi 7

b. 41 tidak kongruen dengan 73 modulo 6, karena 41 - 73 tidak habis di bagi 6

41 tidak kongruen dengan 73 modulo 7, karena 41 - 73 tidak habis di bagi 7

c. 44 tidak kongruen dengan 59 modulo 6, karena 44 - 59 tidak habis di bagi 6

41 tidak kongruen dengan 59 modulo 7, karena 44 - 59 tidak habis di bagi 7

maaf gak habis ada kerjaan lain udah di tunggu.

26. modulo beserta contohnya​

Jawaban:

Atau Bisa juga dikatakan Modulo adalah sebuah operasi bilangan yang menghasilkan sisa pembagian dari suatu bilangan terhadap bilangan lainnya. Misalkan dua bilangan a, dan b, a modulo b atau a (mod b) adalah bilangan bulat sisa pembagian oleh a dan b.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

maaf jika salah

27. Diberikan Z2018 merupakan himpunan bilangan bulat modulo 2018 yang terhadap penjumlahan modulo 2018 membentuk grup komutatif. Tentukan semua subgrup dari Z2018

Pembagi dari 2018 adalah 1,2,1009,2018, maka subgrup dari Z2018 adalah Z2 dan Z1009 (Z1={1} dan Z2108 adalah subgrup trivial)

28. 1. hitung hasil pembagian modulo berikut :a. -173 modulo 21b. 340 modulo 9​​

Jawaban:

a. -173 modulo 21 =16

b. 340 modulo 9 =7

29. Nilai x2X = 4Modulo 6​

Jawaban:

8

Penjelasan dengan langkah-langkah:

kareba 2 x 4 sama dengan 8

30. Himpunan residu terkecil dari modulo 5

Jawaban:

Himpunan residu modulo 5 adalah set {0, 1, 2, 3, 4}. Himpunan residu terkecil adalah set {0} karena 0 adalah sisa pembagian dari setiap bilangan yang habis dibagi oleh 5.

31. Fungsi modulo dari -39 mod 4

-39 = 4 . (-10) + 1

-39 mod 4 = 1

32. Hiting hasil pembagian modulo dari 173 mod 21

173 = 5 mod 21
Karena 21 | 173 - 5
Bacanya 173 kongruensi (harusnya pakai garis tiga) 5 modulo 21 karena 21 habis membagi 173 - 5

33. Berapa (21^2048 modulo 30) x (49^105 modulo 50)

[tex]\begin{aligned}&\left(21^{2048}\ {\rm mod\ }30\right)\times\left(49^{105}\ {\rm mod\ }50\right)\\&=\ \boxed{\,\large\text{$\bf1029$}\,}\end{aligned}[/tex]
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

[tex]\left(21^{2048}\ {\rm mod\ }30\right)\times\left(49^{105}\ {\rm mod\ }50\right)[/tex] akan diselesaikan dengan notasi kongruensi modular, di mana:
a mod b = c ekuivalen dengan a ≡ c (mod b).

Untuk [tex]21^{2048}\ {\rm mod\ }30[/tex]:

[tex]\begin{aligned}&21^{2048}\\&\equiv(30-9)^{2048}&({\rm mod\ }30)\\&\equiv(-9)^{2048}&({\rm mod\ }30)\\&\equiv81^{1024}&({\rm mod\ }30)\\&\equiv(-9)^{1024}&({\rm mod\ }30)\\&\equiv81^{512}&({\rm mod\ }30)\\&\equiv(-9)^{256}&({\rm mod\ }30)\\&\equiv81^{128}&({\rm mod\ }30)\\&\qquad\vdots\\&\equiv(-9)^{2}&({\rm mod\ }30)\\&\equiv81&({\rm mod\ }30)\\&\equiv21&({\rm mod\ }30)\\\end{aligned}[/tex]

[tex]\begin{aligned}&21^{2048}\equiv21\ ({\rm mod\ }30)\\&\implies 21^{2048}\ {\rm mod\ }30=\bf21\end{aligned}[/tex]

Untuk [tex]49^{105}\ {\rm mod\ }50[/tex]:

[tex]\begin{aligned}&49^{105}\\&\equiv(50-1)^{105}&({\rm mod\ }50)\\&\equiv(-1)^{105}&({\rm mod\ }50)\\&\equiv(-1)&({\rm mod\ }50)\\&\equiv49&({\rm mod\ }50)\\\end{aligned}[/tex]

[tex]\begin{aligned}&49^{105}\equiv49\ ({\rm mod\ }50)\\&\implies 49^{105}\ {\rm mod\ }50=\bf49\end{aligned}[/tex]

Oleh karena itu:

[tex]\begin{aligned}&\left(21^{2048}\ {\rm mod\ }30\right)\times\left(49^{105}\ {\rm mod\ }50\right)\\&=21\times49=(20+1)\times49\\&=980+49\\&=\boxed{\,\bf1029\,}\quad\blacksquare\end{aligned}[/tex]

34. tentukan 59^219 modulo 7​

[tex]\boxed{\boxed{{59}^{219} \equiv 6 \: \text{mod} \: \: 7}} \\[/tex]

Pembahasan

Pembagian dengan modulo adalah pembagian suatu ekspresi aljabar maupun bilangan yang menghasilkan sisa.

Pembagian dengan modulo dapat dinotasikan dengan :

[tex]\boxed{a \equiv n \: \text{mod} \: b} \\ \\ \text{artinya ada bilangan bulat} \: \: k \: \: \text{sedemikian sehingga} \: \: a = bk + n \: . \: \\ \\ [/tex]

Diketahui :

[tex]{59}^{219} \: \text{mod} \: \: 7 \\ \\ [/tex]

Ditanya :

[tex]\text{Hasil dari} \: \: {59}^{219} \: \text{mod} \: \: 7 \\ \\[/tex]

Jawab :

[tex] \: \: \: \: \: {59}^{219} \: \text{mod} \: \: 7 \\ \\ \equiv {(7 \cdot 8 + 3)}^{219} \: \text{mod} \: \: 7 \\ \\ \equiv {3}^{219} \: \text{mod} \: \: 7 \\ \\ \equiv {3}^{3 \cdot 73} \: \text{mod} \: \: 7 \\ \\ \equiv {( {3}^{3} )}^{73} \: \text{mod} \: \: 7 \\ \\ \equiv (27)^{73} \: \text{mod} \: \: 7 \\ \\ \equiv (28 - 1)^{73} \: \text{mod} \: \: 7 \\ \\ \equiv (- 1)^{73} \: \text{mod} \: \: 7 \\ \\ \equiv (- 1) \: \text{mod} \: \: 7 \\ \\ \equiv (7 - 1) \: \text{mod} \: \: 7 \\ \\ \equiv 6 \: \text{mod} \: \: 7 \\ \\[/tex]

Kesimpulan :

[tex]\boxed{\boxed{{59}^{219} \equiv 6 \: \text{mod} \: \: 7}} \\ \\ [/tex]

Pelajari Lebih Lanjut

Nilai terkecil dari a – b

brainly.co.id/tugas/3358718

Bilangan bulat yang lebih besar

brainly.co.id/tugas/368990

Diketahui bilangan A dan B bilangan bulat positif. Bilangan A dan B sama sama tersusun dari 4 angka

brainly.co.id/tugas/286374

------------------------------------------------

Detail Jawaban

Kelas : 7

Mapel : Matematika

Kategori : Bilangan

Kode Kategorisasi : 7.2.2

Kata Kunci : pembagian, modulo, sisa, hasil

35. Apa kegunaan dan contoh dari modulo?

modulo gunanya untuk menentukan sisa dari pembagian suatu bilangan. (bisa juga untuk menentukan digit satuan, 2 digit terakhir, 3 digit terakhir, dll)
contoh :
28 mod5 = 3 mod5
40 mod 9 = 4 mod9

36. Tentukan bilangan bulat yang kongruen dengan 4 modulo 12

Jawab:

Nilai yang Kongruen dengan 4(mod 12) adalah ...., -32, -20, -8, 16, 28, 40,....,

Penjelasan dengan langkah-langkah:

37. 2x kongruen 4 modulo 6 nilix adalah​

Jawab:

2

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Karena 4 tidak habis dibagi 6, maka 4 (mod 6) = 4

2x = 4

x = 2

38. Jelaskan pengertian modulo dalam teori bilangan dan berikan contoh soal dan jawabannya

Jawaban:

Contoh 1 :

Periksa kebenaran pernyataan dari 3 ≡ 24 (mod 7) !!!!

Pembahasan 1 :

3 ≡ 24 (mod 7) benar karena 3 - 24 = -21 kelipatan dari 7

Contoh 2 :

Tentukan semua bilangan bulat x sedemikian sehingga x ≡ 1 (mod 10) !!

Jawaban 2 :

x ≡ 1 (mod 10) jika dan hanya jika x - 1 = 10 k untuk setiap k bilangan bulat. Jika k = 0, 1, 2, 3,.... maka berturut-turut x = 1, 11, 21, 31,....

Begitu pula k = -1, -2, -3, .... maka berturut-turut x = -9, -19, -29, ...

Dua barisan tersebut digabungkan sehingga himpunan penyelesaian x ≡ 1 (mod 10) adalah {..., -29, -19, -9, 1, 11, 21, 31, ....}.

39. apa yanh di maksud modulo pencacah

sampai berapa banyak ia dapat mencacah

40. Pandang Z20 sebagai group dengan operasi penjumlahan modulo 20. a. Berikan contoh subgrup H yang berorde 5

Bisa menggunakan teorema lagrange

| Z20/H | = |20/5| = 4

Jadi, buat subgrup yang elemen-elemennya terdiri atas 4Z20, yaitu H = {0, 4, 8, 12, 16}

Bukti:

- Jelas H tidak kosong dan merupakan subset dari Z20

- Misalkan inv(x) menyatakan invers dari elemen x. Perhatikan bahwa:

inv(0) = 0

inv(4) = 16

inv(8) = 12

inv(12) = 8

inv(16) = 4

Ambil sebarang x, y anggota dari H

Perhatikan bahwa x + inv(y) merupakan anggota dari H

Akibatnya, H adalah subgrup dari Z20